N皇后

题目描述

n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

上图为 8 皇后问题的一种解法。

给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。

每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

示例：

输入: 4
输出: [
 [".Q..",  // 解法 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],

 ["..Q.",  // 解法 2
  "Q...",
  "...Q",
  ".Q.."]
]
解释: 4 皇后问题存在两个不同的解法。

问题分析

约束条件为每个棋子所在的行、列、对角线都不能有另一个棋子。

使用一维数组表示一种解法，下标（index）表示行，值（value）表示该行的Q（皇后）在哪一列。
每行只存储一个元素，然后递归到下一行，这样就不用判断行了，只需要判断列和对角线。

Solution1

当result[row] = column时，即row行的棋子在column列。

对于[0, row-1]的任意一行（i 行），若 row 行的棋子和 i 行的棋子在同一列，则有result[i] == column;
若 row 行的棋子和 i 行的棋子在同一对角线，等腰直角三角形两直角边相等，即 row - i == Math.abs(result[i] - column)

布尔类型变量 isValid 的作用是剪枝，减少不必要的递归。

public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
    // 下标代表行，值代表列。如result[0] = 3 表示第1行的Q在第3列
    int[] result = new int[n];
    List<List<String>> resultList = new LinkedList<>();
    dfs(resultList, result, 0, n);
    return resultList;
}

void dfs(List<List<String>> resultList, int[] result, int row, int n) {
    // 递归终止条件
    if (row == n) {
        List<String> list = new LinkedList<>();
        for (int x = 0; x < n; ++x) {
            StringBuilder sb = new StringBuilder();
            for (int y = 0; y < n; ++y)
                sb.append(result[x] == y ? "Q" : ".");
            list.add(sb.toString());
        }
        resultList.add(list);
        return;
    }
    for (int column = 0; column < n; ++column) {
        boolean isValid = true;
        result[row] = column;
        /*
         * 逐行往下考察每一行。同列，result[i] == column
         * 同对角线，row - i == Math.abs(result[i] - column)
         */
        for (int i = row - 1; i >= 0; --i) {
            if (result[i] == column || row - i == Math.abs(result[i] - column)) {
                isValid = false;
                break;
            }
        }
        if (isValid) dfs(resultList, result, row + 1, n);
    }
}

Solution2

使用LinkedList表示一种解法，下标（index）表示行，值（value）表示该行的Q（皇后）在哪一列。

解法二和解法一的不同在于，相同列以及相同对角线的校验。将对角线抽象成【一次函数】这个简单的数学模型，根据一次函数的截距是常量这一特性进行校验。

这里，我将右上-左下对角线，简称为“\”对角线；左上-右下对角线简称为“/”对角线。

“/”对角线斜率为1，对应方程为y = x + b，其中b为截距。
对于线上任意一点，均有y - x = b，即row - i = b;
定义一个布尔类型数组anti_diag，将b作为下标，当anti_diag[b] = true时，表示相应对角线上已经放置棋子。
但row - i有可能为负数，负数不能作为数组下标，row - i 的最小值为-n（当row = 0，i = n时），可以加上n作为数组下标，即将row -i + n 作为数组下标。
row - i + n 的最大值为 2n（当row = n，i = 0时），故anti_diag的容量设置为 2n 即可。

“\”对角线斜率为-1，对应方程为y = -x + b，其中b为截距。
对于线上任意一点，均有y + x = b，即row + i = b;
同理，定义数组main_diag，将b作为下标，当main_diag[row + i] = true时，表示相应对角线上已经放置棋子。

有了两个校验对角线的数组，再来定义一个用于校验列的数组cols，这个太简单啦，不解释。

解法二时间复杂度为O(n!)，在校验相同列和相同对角线时，引入三个布尔类型数组进行判断。相比解法一，少了一层循环，用空间换时间。

List<List<String>> resultList = new LinkedList<>();

public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
    boolean[] cols = new boolean[n];
    boolean[] main_diag = new boolean[2 * n];
    boolean[] anti_diag = new boolean[2 * n];
    LinkedList<Integer> result = new LinkedList<>();
    dfs(result, 0, cols, main_diag, anti_diag, n);
    return resultList;
}

void dfs(LinkedList<Integer> result, int row, boolean[] cols, boolean[] main_diag, boolean[] anti_diag, int n) {
    if (row == n) {
        List<String> list = new LinkedList<>();
        for (int x = 0; x < n; ++x) {
            StringBuilder sb = new StringBuilder();
            for (int y = 0; y < n; ++y)
                sb.append(result.get(x) == y ? "Q" : ".");
            list.add(sb.toString());
        }
        resultList.add(list);
        return;
    }
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (cols[i] || main_diag[row + i] || anti_diag[row - i + n])
            continue;
        result.add(i);
        cols[i] = true;
        main_diag[row + i] = true;
        anti_diag[row - i + n] = true;
        dfs(result, row + 1, cols, main_diag, anti_diag, n);
        result.removeLast();
        cols[i] = false;
        main_diag[row + i] = false;
        anti_diag[row - i + n] = false;
    }
}